Gauss Law

Χρήσιμο για συμμετρικές κατανομές ( σφαιρικές, κυλινδρικές, επίπεδες)

Flux of Electric Field = $\iint E \cdot d s$ όπου η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου είναι ανάλογη της (επιφανεικακής) πυκνότητας των δυναμικών γραμμών , δηλ. E ds είναι ανάλογο του αριθμού των δυναμικών γραμμών --> η ροή είναι ενα μέτρο του φορτίου που περικλύει μία κλειστή επιφάνεια ( ολες οι δυναμικές γραμμές που ξεκινάνε απο το φορτίο πρέπει να την διαπεράσουν- αν εχεις 2q θα εχεις διπλάσιες γραμμές άρα διπλάσια ροή)

\oint \oint E \cdot d s = \frac{Q_{i n}}{ϵ_{0}}

Διαφορική μορφή

Divergence - Green - Gauss Theorem & Charge conservation
$\oint \oint E \cdot d s = ∭ (\nabla \cdot E) d v$ και $Q = ∭ ρ d v$ $==>$ $∭ (\nabla \cdot E) d v = ∭ \frac{ρ}{ϵ_{0}} d v$ $==>$

\bar{\nabla} \cdot \bar{E} = \frac{ρ_{f}}{ε}

όπου
ρ : πυκνότητα των ελεύθερων φορτίων στο χώρο
ε : Electric Permittivity
E : Electric Field from charges q

Μπορεί να υπολογισθεί απευθείας βρίσκοντας την απόκλιση του Ε απο το Coulomb Law

Eξίσωση Poisson:

\nabla^{2} V = - \frac{ρ}{ϵ_{0}}

\bar{\nabla} \cdot \bar{D} = ρ_{f}

\bar{D} = ε \bar{E}

where
D : Electric Displacement Field

Ολοκληρωτική μορφή

\oint \oint \bar{E} \cdot d \bar{S} = \frac{Q_{f}}{ε}

\oint \oint \bar{D} \cdot d \bar{S} = Q_{f}

Η ροή (Flux) των δυναμικών γραμμών της έντασης ή της μετατόπισης (Electric Displacement Field) του Electric Field ισούται με την ποσότητα του ηλεκτρικού φορτίου που υπάρχει στον όγκο V που περιβάλεται απο την επιφάνεια S .