Scalar Potential

Ηλεκτρικό δυναμικό [Volt=N*m/C]

Ε (Electric Field)-> Αστρόβιλο & Stokes theorem --> Αναγωγή διανυσματικου προβλήματος (Ε) σε βαθμωτό (V)

E = - \nabla V

απόδειξη

επειδή Ε αστρόβιλο και το επικαμπυλιο είναι ανεξάρτητο της διαδρομής μπορούμε να ορίσουμε συνάρτηση:

V = - \int_{O}^{r} E \cdot d l

όπου $$V(b)-V(a)=-\int_O^b E\cdot dl+\int_O^a E\cdot dl=-\int_a^b E\cdot dl$$
και από Gradient theorem:

V (b) - V (a) = - \int_{a}^{b} (\bar{\nabla} V) \cdot d \bar{l}

Εξισώνοντας τα δύο μέρη :

E = - \nabla V

Αρνητικό πρόσημο : Θετικά φορτισμένο test particle θα κινηθεί από το υψηλότερο δυναμικό στο χαμηλότερο, άρα αντίθετα στην κλήση.

Gauss Law

Εξίσωση Poison:

\nabla^{2} V = - \frac{ρ}{ϵ_{0}}

Για περιοχή χωρίς φορτία (ρ=0) -> Lapalace's Equation :

\nabla^{2} V = 0

Μία μόνο διαφορική εξίσωση (poison) αρκει για τον υπολογισμό του V αφού είναι βαθμωτό
Εύρεση δυναμικού με δεδομένη κατανομή ρ :

V (r) = - \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int_{\infty}^{r} \frac{q}{r^{'}} d r^{'} = \frac{q}{4 π ϵ_{0} * r}

Θεωρόντας Ο == απειρο
Επισης q>0 => V>0 και αντίστροφα
Αν η κατανομή εκτείνεται στο άπειρο το ολοκλήρωμα δε συγκλίνει (θεωρητικό πρόβλημα)
Συνεχής κατανομή:

V (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int \frac{ρ (r^{'})}{i} d v^{'}

Ενεργειακά

V (b) - V (a) = \frac{W}{Q}

where W = Electric Work
Για την μεταφορά ενός φορτίου από το άπειρο σε ένα σημείο r:

V (r) = \frac{W}{Q}

υπό αυτήν την έννοια το δυναμικό είναι δυναμική ενέργεια ανά μονάδα φορτίου